Integrasi Numeric

integrasi numerik adalah suatu cara untuk menghitung aproksimasi luas daerah di bawah fungsi yang dimaksud pada selang yang diberikan.

Thank you for reading this post, don't forget to subscribe!

Teori

Integral tak tentu

Integral tak tentu atau antiturunan atau antiderivatif adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut “integral tak tentu”

Integral tertentu

Integral tentu (definite integral) adalah bentuk integral yang variabel integrasinya memiliki batasan. Batasan tersebut biasanya disebut sebagai batas atas dan batas bawah. Batas variabel integrasi umumnya ditulis di bagian atas dan bawah notasi integral.

Dipandang dari sudut persamaan diferensial maka mencari nilai integral L adalah sama dengan menyelesaikan persamaan diferensial:

$\frac{dx}{dy}=f(x)$

Dengan syarat batas F(x)=0

untuk Integrasi numerik mempunyai metode penyelesaian banyak jadi saya cumak jelasin yang saya ketahui seperti :
1.Metode Newton-Cotes
2.Metode Trapezoid
3.Metode Romberg
4.Metode Simpson

Metode Trapezoid

Aturan Trapezoid adalah suatu metode pentdekatan integral numerik dengan polinom rde satu. Dalam metode ini, kurva yang berbentuk lengkung di dekatkan dengan garis lurus sedemikian sehingga, bentuk dibawah kurvanya seperti trapesium

Rumus metode Trapezoid bisa di lihat di gambar di bawah :

$I=\int_{a}^{b}f(x)dx$

$I=\int_{a}^{b}\left(f(a)+ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)dx$

$I=\int_{a}^{b}\left(f(a)+ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)d\frac{b}{a}$

$I=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\frac{x^2}{2}\frac{b}{a}$

$I=(a-b)\frac{f(b)-f(a)}{2}$

Rumus ini didasarkan pada estimasi luas di bawah kurva dengan menggunakan trapezoid. Pertama,interval [a, b] dibagi menjadi beberapa sub-interval berikut :

$a=x0,x1, ...xn-1,xn=b$

Trapezoid sub-interval

$\int_{b}^{a}f(x)d(x)=\int_{x0}^{x1}f(x)d(x)+\int_{x1}^{x2}f(x)d(x)+...+\int_{xn-1}^{xn}f(x)d(x)$

$\frac{h}{2}\left[f(x_0)+f(x_1) \right]+\frac{h}{2}\left[f(x_1)+f(x_2) \right]+...+\frac{h}{2}\left[f(x_n-1)+f(x_n) \right]$

$\frac{h}{2}\left[ f(x_0)+2f(x_1)+...2f(x_1)+...2f(xi)+...2f(x_n-1)+2f(x_n)\right]$

sehingga menghasilkan persamaan:

$I=\frac{h}{2}\left(f_0+2\sum_{i=1}^{n-1}+f_n\right)$

Bisa di simpulkan [xi, xi + 1] alasnya, dan kedua sisi vertikalnya f (xi) dan f (xi + 1). Luasnya sama dengan alas dikalikan dengan tinggi rata-rata. seperti diatas:

Program


import math

def R(n):
h = (math.pi / 2 - 0) / (2 ** n)
if n == 0:
return math.pi / 4 * (math.sin(0) + math.sin(3.14 / 2))
else:
sigma = 0
for k in range(1, 2 ** (n -1) + 1):
sigma += math.sin((2 * k - 1) * h) # a tidak ditulis karena a = 0
return R(n - 1) / 2 + h * sigma

for n in range(0, 3 + 1):
print("R(" + str(n) + ", 0) = " + str(R(n)))

print("")
print("Estimasi Error = |R(3,0) – R(2,0)| = " + str(R(3) - R(2)))

Hasil


R(0, 0) = 0.7853979143726935
R(1, 0) = 0.9480593244561425
R(2, 0) = 0.9871157387165868
R(3, 0) = 0.9967851407580752

Estimasi Error = |R(3,0) – R(2,0)| = 0.009669402041488473
>>>