persamaan Non Linier

Kesimpulan Persamaan non-linier dapat diartikan sebagai persamaan yang tidak mengandung syarat seperti persamaan linier, sehingga persamaan non-linier dapat merupakan:
1. Persamaan yang memiliki pangkat selain satu:

Thank you for reading this post, don't forget to subscribe!

x^{2}

2. Persamaan yang mempunyai produk dua variabel:

xy

Dalam penyelesaian persamaan non-linier diperlukan akar-akar persamaan non-linier, dimana akar sebuah persamaan non-linier f(x)=0 merupakan nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Dalam hal ini dapat disimpulkan bahwa akar-akar penyelesaian persamaan non-linier merupakan titik potong antara kurva f(x) dengan sumbu x.

persamaan non-linier mempunyai banyak metode seperti:

Metode Terbuka
Metode Iterasi Titik Tetap
Metode Newton-Rapshon
Metode Secant

Metode Terbuka
Metode Biseksi
Metode Regula Falsi
dan lain sebagainya …

Teori Metode Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson merupakan metode penyelesaian persamaan non-linier dengan menggunakan pendekatan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien. titik pendekatan dinyatakan pada Persamaan.

x_n+1=x_n - \frac{f(x_n)}{f^{1}(x_n)}

Untuk dapat menggunakan metode Newton-Raphson, terlebih dahulu kita perlu memperoleh turunan pertama dari persamaan tersebut.

f(x)=x - e^{-x}\rightarrow f^{1}(x)=1+e^{-x}

Tebakan awal yang digunakan adalah x=0

f(x0)=0-e^{-0}=-1

f^1(x0)=1-e^{-0} =2

Hitung nilai x baru:

x1=x0-\frac{f(x0)}{x^1(x0)}=0-\frac{-1}{2}=0,5

Berdasarkan hasil iterasi diperoleh akar penyelesaian persamaan non-linier adalah:

x=0,5671433$

dengan jumlah iterasi yang diperlukan adalah 5 iterasi.

Teori Metode Newton-Raphson

Metode biseksi merupakan salah satu metode tertutup untuk mentukan solusi akar dari persamaan non linear. Ide awal dari metode biseksi adalah metode tabel dimana areanya dibagi menjadi N bagian. Sementara dalam motode biseksi membagi range menjadi 2 (dua) bagian saja. Akar-akar persamaan nonlinear dicari melalui proses iterasi, dengan prinsip utama sebagai berikut: memilih bagain yang mengandung akar dan membuang yang tidak mengandung akar hingga diperoleh akar persamaan.

Algorima Metode Biseksi

1.Definisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya
2.Tentukan nilai a dan b
3.Tentukan torelansi e dan iterasi maksimum N
4.Hitung f(a) dan f(b)
5.Jika f(a).f(b)>0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak dilanjutkan
6.Hitung x=(a+b)/2
7.Hitung f(x)

Code pemrogrman Python


import math as mat
def BisectionMethod(a,b):
def titik_tengah(a,b):
return (a+b)/2
def function(x):
return (mat.pow(x,3))+(4*(mat.pow(x,2)))-10
def aproximar():
global a
global b
n=1
iterasi=10
print("i \t a \t\t b \t\tc \t\tf(a) \t\tf(b) \t\tf(c)")
while(True):
c=titik_tengah(a,b)
print(str(n),"\t","{0:.5f}".format(a),"\t","{0:.5f}".format(b),"\t","{0:.5f}".format(c), "\t{0:.5f}".format(function(a)),"\t{0:.5f}".format(function(b)),"\t{0:.5f}".format(function(c)))
if n > iterasi:
print("progam tidak dapat menyatu dengan interval yang diberikan")
break
else:
if mat.fabs(function(c))<=0.01:
print("\nHasil \nPerkiraan: {0: .5f}".format(c)," Melakukan iterasi: ", str(n), " Error: {0: .5f}".format(mat.fabs(function(c))))
break
else:
if function(c)*function(a)>0:
a=c
elif function(c)*function(b)>0:
b=c
n=n+1
aproximar()
a=float(input("interval a:"))
b=float(input("interval b:"))
BisectionMethod(a,b)

Hasil Run


</div>
interval a:5
interval b:4
i a b c f(a) f(b) f(c)
1 5.00000 4.00000 4.50000 215.00000 118.00000 162.12500
2 4.50000 4.00000 4.25000 162.12500 118.00000 139.01562
3 4.25000 4.00000 4.12500 139.01562 118.00000 128.25195
4 4.12500 4.00000 4.06250 128.25195 118.00000 123.06274
5 4.06250 4.00000 4.03125 123.06274 118.00000 120.51566
6 4.03125 4.00000 4.01562 120.51566 118.00000 119.25391
7 4.01562 4.00000 4.00781 119.25391 118.00000 118.62598
8 4.00781 4.00000 4.00391 118.62598 118.00000 118.31274
9 4.00391 4.00000 4.00195 118.31274 118.00000 118.15631
10 4.00195 4.00000 4.00098 118.15631 118.00000 118.07814
11 4.00098 4.00000 4.00049 118.07814 118.00000 118.03907
progam tidak dapat menyatu dengan interval yang diberikan
>>>